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  • “破解”黎曼猜想:数学中没有“不可知”

    来源:文汇报 2018.9.28 2018-10-09 09:29:46 点击:221 赞美:7

     

     

        今年924日,中秋节,对中国人来说是 “惟有今宵,皓彩皆同谱”;在西方,则是一个周末之后普通的星期一。

     

        然而,这一天却让全世界 “定格”。因为在此之前的几天,有消息传出,英国著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士(Michael Atiyah,将于 924日在“海德堡获奖者”论坛上宣布他证明了“黎曼猜想”。

     

        消息首先发布于海德堡论坛公布的议程,以 “黎曼猜想”为题,阿蒂亚报告的摘要是:黎曼猜想是自1859年来著名的未被解决的问题,我将用完全不同的新方法给出一个简洁的证明。这一证明建立在冯·诺依曼、希策布鲁赫、狄拉克工作的基础上。

     

        这一消息立刻在网络上引发了一场 “地震”。 有人说, “数学界将出大事,黎曼猜想已被证明!”但也有媒体十分谨慎,提醒人们别开心得太早。有一种观点甚至认为: “黎曼猜想”的后面是史诗级灾难,并称 “真正的恐惧来了!这一则数学猜想的破解可能会毁灭所有的数字货币!”

     

        为何一则数学猜想能引发如此强烈的关注?

     

        人们也自然要问:黎曼是谁?什么是 “黎曼猜想”?它的意义何在?

     

        “黎曼猜想”至今悬而未决,既未被证明也未被推翻

     

        当代数学中大约有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式)为前提的。这就是说,黎曼猜想一旦被证明,那1000多条数学命题都可以 “荣升”为数学定理;反之,如果黎曼猜想被推翻,这1000多条数学命题大部分就成了 “陪葬”。

     

        1826年,黎曼出生于德国汉诺威的小镇布列斯伦茨,他的父亲是一位牧师。1846年,黎曼进入哥廷根大学,受父亲的影响,他主修哲学和神学。幸运的是,他迷上了高斯的数学讲座,在得到父亲的允许后,改学数学。在大学期间,他有两年时间去柏林大学就读,深受雅可比和狄利克雷的影响。1851年,黎曼在柏林大学获博士学位。按照德国惯例,博士学位只表示一个人的学术水平,并不能据此在大学任教。为了获得大学教职,黎曼向哥廷根大学递交两篇论文:《论傅里叶级数》和 《关于作为几何学基础的假设》,前一篇作为讲师资格审查材料,后一篇作为就职演说。1854610日,在哥廷根大学的教员大会上,黎曼做了就职演说,年迈的高斯就坐在台下,露出赞赏的笑容。

     

        黎曼的演说发展了高斯关于曲面的内蕴微分几何,提出用流形的概念理解空间的实质,用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量,建立了黎曼空间的概念,把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1854年,黎曼成为哥廷根大学的无薪讲师,1857年升为哥廷根大学的编外教授。1859年,他接替狄利克雷成为教授,并被选为柏林科学院院士。为表感激,黎曼向科学院提交了一篇名为《论小于给定数值的素数个数》的论文,该文发表在 《柏林科学院月刊》(185911月号)。论文的手稿仅仅6页,但彻底轰动了整个数学界。

     

        在这篇论文中黎曼定义了Zeta函数”ζ(s),提出了有关素数分布的6个猜想。1892年法国数学家阿达玛证明第 134猜想,1894年德国数学家曼高尔特证明了第26猜想。唯第5个猜想迄今未获证明,这则猜想被称为 “黎曼猜想”。

     

        黎曼猜想的内容无法用完全初等的数学来描述。简单地说,它是一个被称为黎曼 ζ-函数的复变量函数

     

        (即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数) 的猜想。黎曼ζ-函数跟许多其它函数一样,在某些点上的取值为零,那些点被称为黎曼 ζ-函数的零点。在那些零点中,有一部分特别重要的被称为黎曼ζ-函数的非平凡零点。黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点的实数部分都等于1/2。即这些零点全都分布在复平面上横坐标等于1/2的特殊直线上。

     

        黎曼猜想的研究已成为数学史上波澜壮阔的篇章,但直到今天仍然悬而未决,既没有被证明,也没有被推翻。不过,数学家们已经从分析和数值计算这两个不同方面入手,对它进行了深入研究。在分析方面所取得的最强结果是证明了至少有40%的非平凡零点位于临界线上;而数值计算方面所取得的最强结果则是验证了前十万亿个非平凡零点全都位于临界线上。但10万亿次验证,并不能等同一纸证明。因此数学家不断挑战黎曼猜想的极限。不仅如此,对黎曼猜想的研究也促进了相关学科的蓬勃发展。人们发现,黎曼猜想甚至和一些复杂的物理现象也有千丝万缕的联系,这更增添了黎曼猜想的重要性与神秘性。

     

        据称,当代数学中大约有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式)为前提的。这就是说,黎曼猜想一旦被证明,所有那1000多条数学命题都可以 “荣升”为数学定理;反之,如果黎曼猜想被推翻,这1000多条数学命题大部分就成了“陪葬”。

     

        一条数学猜想成为如此众多数学命题正确性的 “基石”,这在数学史上几乎是绝无仅有的,由此凸显黎曼猜想的重要意义。

     

        由数学家 “智力构造”的问题,几乎主导着数学发展的方向

     

        数学猜想是人类理性中最富有创造性的部分。数学发展史表明,数学家在尝试解决数学猜想过程中 (无论最终是否解决)创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。

     

        数学家哈尔莫斯说过, “问题是数学的心脏”。甚至可以说,一部数学的历史,就是人类探索和解决 “问题”的历史,这个 “问题”可以是来自生产实践,来自对大自然的思考,更多则是来自数学家们的  “智力构造”,尤其是进入近现代以来,数学家们 “智力构造”的数学问题,几乎主导着数学发展的方向。

     

        数学猜想是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一,是人类理性中最富有创造性的部分。数学猜想能够强烈地吸引数学家全身心投入,积极开展相关研究,从而强力推动数学发展。数学猜想一旦被证实,就将转化为定理,汇入数学理论体系之中,从而丰富了数学理论。数学猜想也是创造数学思想方法的重要途径。数学发展史表明,数学家在尝试解决数学猜想过程中 (无论最终是否解决)创造出大量有效的数学思想方法。这些数学方法已渗透到数学的各个分支并在数学研究中发挥着重要作用。

     

        1900年,在巴黎举行的第2届国际数学家大会上,德国数学家希尔伯特发表了著名的 《数学问题》演说。作为当时的国际领头数学家,希尔伯特以其深邃数学眼光,根据19世纪数学研究的成果与发展趋势提出了23个数学问题,对这些数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟的见解。希尔伯特讲演强调重大数学问题乃是数学前进的指路明灯。他坚信数学不会因正在盛行的专门化趋势而被分割成不联系的孤立分支,数学作为一个整体的生命力正在于其各个部分间联系。

     

        23个问题涉及现代数学大部分重要领域,推动了20世纪数学的发展。这些问题有些已经获得证明,有些尚待证明。其中第八个问题是素数分布,包含了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数。

     

        2000年,美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题,并为每个问题设置了100万美元的奖金,黎曼猜想赫然列在其中。

     

        希尔伯特在他 《数学问题》的演说中指出: “历史教导我们,科学的发展具有连续性……某类问题对于一般数学进展的深远意义以及他们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的,只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力;而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样,数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决,研究者锻炼其钢铁意志,发现新方法和新观点,达到更为广阔和自由的境界。”希尔伯特在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念,对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说: “在我们中间,常常听到这样的呼声——这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有ignorabimus(不可知)。”三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,希尔伯特再次满怀信心地 宣 称 : Wir müssen wissen.Wir werden wissen.(我们必须知道,我们必将知道。)”

     

        (作者为上海交通大学科学史系教授)

     

     

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