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化学分子里的数学秘密
2011-06-23 11:04

 【阅读提示】本文以欧拉公式解释了C60分子的空间构型,用三维虚拟技术构造互动性的C60分子,并利用三维动画技术动态表达B12分子逐渐转化为C60分子的过程,揭示两个不同分子神奇的内在关联,最后用工业级尼龙3D打印机打印出C60分子结构模型,真实感受大自然这位建筑大师超高超的艺术设计能力,真正做到以数学为基础,通过工程和艺术来解读科学和技术——这正是新课程倡导的STEAM教育理念。

 

        C60分子,是一种由60个碳原子构成的分子,球面由 12个五边形和20个六边形构成(图1),1985年由英国克罗托、美国柯尔和斯莫里等科学家发现,它是人类发现的碳元素的第三种同素异形体,这种分子很稳定。1996年发现它的克罗托、柯尔和斯莫里三位科学家荣获诺贝尔化学奖,瑞典皇家科学院的新闻公报称此项发现开辟了化学研究的新领域,对宇宙化学 、超导、材料化学和材料物理的研究具有重大意义。

1  富勒烯的分子结构模型

    克罗托、柯尔和斯莫利三位教授发现C60分子后,基于C60由正六边形结构特点的石墨制备得到,他们先用正六边形造笼,但由于数学知识的欠缺,走了许多弯路也未给出C60分子的空间结构,最后有着建筑爱好的克罗托受美国建筑家富勒为1967年蒙特利尔世博会设计建造的美国馆主体建筑的启示(图2),提出现在我们熟悉的三十二面体结构。并从美国赖斯大学数学系教授获得欧拉公式的支持。

2  1967年蒙特利尔世博会美国馆的主体建筑

    著名数学家、英国沃里克大学教授、英国皇家科学院院士伊恩·斯图尔特说:我们的世界建立在数学的基础上,数学总是尽可能地藏在幕后。现在我们将数学由幕后请到台前,用数学的方法来认识C60分子空间构型的形成。

早在196611月出版的《新科学家》杂志中,琼斯对一种巨型的石墨气球的性质进行了猜测,这些石墨气球是在普通石墨平坦的碳原子平面中引入缺陷,使其发生变形和翘曲之后闭合而成的。在1982年出版的著作《琼斯的发明》一书中,他进一步完善了这个想法,并且猜测这些缺陷可能是五边形。

琼斯断定,缺陷是必不可少的,因为如果没有缺陷,一个完全由六边形构成的平面不论怎么弯曲也不会形成一个封闭的结构。正如他在书中所指出的那样,这一点可以由瑞士数学家欧拉1752年证明的一个简单公式推知。该公式指出,一个多面体的顶点数(V)加上它的面数(F),等于其边数(E)加2,即V+FE+2。如果我们想到,顶点数决定着边数,而边数又决定着面数,那么不难理解VEF三者之间应当存在某种关系。

我们可以先对某种结构进行猜测,把它的VEF的值代人欧拉公式。如果方程的两端相等,这种结构就有可能(但并未自动地证明)以多面体的形式存在。但是,如果由VEF的值我们得不到一个等式,我们就只能断定,这种结构绝不会是一个多面体。比如,如果我们想用石墨网来拼出一个60个原子的多一面体,欧拉公式会告诉你这是在白费力气。

这是因为,这样一个假想的多面体必然具有60个顶点(V=60),它们对应于60个碳原子的位置。而每个顶点必与3个其他顶点相连,因此每个顶点伴有3半边1条完整的边连着2个顶点),这样,总共就有90条边(E=90)。如果这个多面体完全由六边形所构成,每条边将为以这条边相邻的2个面各贡献1/6,因此,面的总数是30F=30)。我们立即发现,V+F的值(90)不等于E+292)。因此,由石墨网我们得不到C60多面体。

实际上,如果我们把以上推理推广一到任意顶点数的结构上去,我们就会发现,如果这个结构的表面全都是六边形,那么数学上欧拉公式的两端就永远不会相等。如果斯莫利、克罗托、柯尔他们当中有谁知道欧拉的这个著名公式,他们就不必白白浪费时间用六边形来构造封闭的笼了,这根本就办不到。

二千多年前的古希腊哲学家柏拉图证明:顶角相同只由一种多边形封闭成的凸多面体有且只有5种,我们不妨把这类多面体称为柏拉图体(图3)。

二千多年前的古希腊学者阿基米德证明:顶角相同由两种多边形封闭成的凸多面体有且只有13种,我们不妨把这类多面体称为阿基米德体(图4)。

3  柏拉图体

4  阿基米德体(部分)

 

请注意柏拉图体中右下角的正二十面体和阿基米德体中右下角的正三十二面体:将柏拉图体中的正二十面体切去十二个顶点,即可得到一个由20个六边形和12个五边形围成的阿基米德体——正三十二面体(图5),而这个阿基米德体就是C60分子的空间构型!

 

(a)  正二十面体                (b)  三十二面体

5  将一个正二十面体切去十二个顶点,得到一个

20个六边形和12个五边形围成的三十二面体

 

值得注意的是,在数学上,正二十面体变成三十二面体只需调整一个参数即可,而在化学上,正二十面体空间构型对应的分子是早已为人所知的笼状的B12 分子,BC元素在周期表又处于相邻位置,根据元素周期律,在周期表中位置相邻的元素所形成的单质及其化合物在结构、性质上应有相似之处,如果人们注意到这一事实 ,是否有利C60的更早期的发现及其结构(笼状的C60分子)的确定呢(图6?

 

(a)  B12分子球棍模型          (b)   C60分子球棍模型

6   数学模型上,B12分子转变为C60分子只需调整一个参数即可

   

    【附录】1、用3d max构建C60分子结构模型,目前氢剑构造的常见晶体与分子结构模型约200多个。

 

2、用Cult 3d设置互动,用鼠标即可对模型进行平移、滚动、旋转、缩放等操作,部分模型还可以通过增添、删除原子、变形及触动预先设置的动画等方式形成对微观结构的认识,目前公众号阅读模式还不支持这项功能。

 

       3、用工业级尼龙高温烧结3D打印机打印的B12C60分子,分子设计氢剑,打印由深圳创想智造公司完成,此类打印机造价二、三百万元,一般中学用不起。

                   初稿2011.6,修改2018.6     黄剑芳

 

 

分类:美丽化学 | 阅读(4464) |评论(2)
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  • 张志国:

    请问剑芳老师,你这C60分子是自己画出来的吗?

    我最近想画几个化学分子的三维结构。。但是找不到合适的软件

  • 黄剑芳: 是自己画的,三维造型软件是3ds max,三维交互设计是Cult 3d,C60构成的方法我有一篇文章有详细制作过程,你有兴趣留个邮箱我发过去。化学三维结构软件很多,但都有优缺点,看你的需要。要最精美,三维效果最好,交互性最强还是3ds max+Cult 3d。下回面谈可以给你些参考。
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