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从几何原本说起
2017-01-01 08:17

 本文全文转子我的微信公众号:科学物理人

写在前面的话:做本公众号是因为南京大学高量哥的高等量子力学课给我带来的一些观念上的冲击,我就想着能够推广高量哥的这一套东西,本人才疏学浅,一切也都是在学习的过程中,可能会有些地方说的不对。 当然,本公众号也想着做一些其他的与物理相关的东西,比如解物理题等。

        本公众号的名字叫做科学物理人,不过作为科学物理人的第一篇文章,我却在写欧几里得的《几何原本》,这是因为《几何原本》是第一个公理化的体系,虽然几何不是科学,不过牛顿的《自然哲学的数学原理》在写作套路上基本上仿照几何原本来写的。爱因斯坦说过,科学有两个来源,第一个是古希腊时期的以欧几里得《几何原本》为代表的形式逻辑,第二个是欧洲文艺复兴时期的实验。所以,说说欧几里得《几何原本》不仅不偏题,反而是绕不过去的。

        可以说我国几乎每个中学生都学过几何,而他们学过的几何正是欧几里得几何,不过我们的中小学都是在学习欧几里得几何的内容,在我们的课堂上,学生学习如何证明全等、相似,几乎没有学校教给学生欧几里得几何最真的东西。

        欧几里得的《几何原本》作为第一个公理化的体系,其第一卷包括了23个定义、5个公设、5个公理、48个命题,其第二卷包括2个定义、14个命题,其第三卷包括11个定义、37个命题,第四卷包括......以下列举几个定义、公理和公设:

        定义1:点 是没有部分的

        定义2:线 只有长度而没有宽度

        公设1:由任意一点到另外任意一点可以画直线

        公设4:凡直角都彼此相等

        公理1:等于同量的量彼此相等

        公理2:等量加等量,其和仍相等

        公理5:整体大于部分

       有很多人会觉得这些还要说吗?这些不是理所当然的吗?其实不是的,这些正是欧几里得几何最关键的一部分,他们是出发点,从这些出发点开始进行符合逻辑的推理,就可以得到很多命题,这样就得到了欧几里得几何的内容,而推理出来的这些命题很多就是我们中学生课堂上学习到的,不过我们的学生并不知道这些内容是怎么来的,应该说他们学的很糊涂。我们如果同意这些出发点,那么我们就学习欧几里得几何,如果不同意,那么没有任何人强迫你。是的,就是这样,如果你可要自己给出自己的几个出发点,然后进行符合逻辑的推理,同样也是可以写出一套公理化的体系来的,那么只要有人愿意和你谈,你就也成了一个公理化体系的创立人了。出发点是不可以证明的,但之后的东西就必须符合逻辑,就是这样子。

        学习欧几里得《几何原本》是一个锻炼逻辑能力的最好的方法,在欧几里得的原本中,所有的几何图形都是由尺规作图得到的,这里的尺是没有刻度的直尺、规就是我们现在的圆规。比如,由一个已知点(作为端点)作一条直线等于已知直线,这个应该怎么用尺规作图画出来?比如已知两条线段不相等,如何从大的边上截取一条线段等于另一条?由已知点做直线与已知圆相切应该怎么做?这些都需要十分严密的逻辑才可以画出来。关于尺规作图,在民国时期,我国的很多大学里面是有开这样一门课的(中小学不清楚),但是今天我们的大学好像很少有这样的课。民国时期培养的大师还是很多的,现在没有以前多了。相比欧几里得几何的内容,他的写作思路、思维过程应该才是我们要学习的。

        再说欧几里得几何的出发点,那些出发点是毫无道理的,仅仅是彼此不矛盾就可以,为什么我们觉得好理解,仅仅是他和我们的生活经验比较符合,不过我们也应该清楚的知道,点、线、面也是在现实生活中没有的,也是抽象的概念,仅仅是以我们的生活经验好理解而已。那么,如果我们知道这些东西是毫无道理的出发点,我们不承认他们,那么我们就可以不学欧几里得几何,如果有一天我们有了新的出发点,我们就可以按照欧几里得的写作方式开创新的几何。这也就是现在的非欧几何说两点之间曲线最短、三角形的内角和小于180°为什么不难理解,那仅仅是人家不从欧几里得的这几个出发点开始,人家自己搞了几个出发点,然后也按照逻辑来推得很多结论,形成一个新的公理化体系。

        其实从这里看,牛顿的《自然哲学的数学原理》也是如此,牛顿运动三定律不过是牛顿的几个出发点而已,是不可能被证明的,仅仅是他比较符合人们的生活经验,人们能够较好的接受他。那么当爱因斯坦和狄拉克提出相对论和量子力学的时候,他们抛弃了牛顿的那几个基本假设,重新自己做了几个基本假设,然后开始符合逻辑的推理,形成一套理论体系。所以从这个角度看,相对论一点都不比牛顿力学难以理解,同样的量子力学也是的。仅仅是因为他们的出发点更加抽象,不太符合我们的生活经验,所以人们觉得很难,不过需要注意,牛顿的出发点也是抽象的。

        再从这里谈一下,为什么科学革命会发生在欧洲,而没有发生在中国。我们缺少的就是公理化的体系,中国古代的数学更多的是算术,而数学应该是逻辑的。当然,数学不是科学,几何也不是科学,但无疑给科学的发展提供了很大的帮助,比如牛顿的《原理》。

        在明朝的时候,我们国家也曾翻译过《几何原本》,我们试想,如果当时我们的科举考试必考几何,那么后来的科学革命是不是可能发生在中国?

       不可否认的是,中国的科学还是很落后的,中学理科教科书上讲得大多数东西都是以外国人的名字命名的。我想,科学文化它就是来源于西方,所以我们现在学习科学就应该学习西方的东西。我们的基础教育的确缺失了这一部分的教育。比如,如果有的学生问为什么a+b=b+a,那我们有的老师就会认为这个学生吃了没事干,尽想些没用的,其实很多时候他们自己也说不清楚。这东西它仅仅是一个假设而已,是一个出发点,是一个规定,如果你不同意我的出发点,我的规定,那也没有关系,我们就不谈论了,我找同意我的人去谈。

        我自己也是在研究生的时候才知道这些的,最近一直想着能够用尺规作图的方法读一遍《原本》,怎奈没有时间,这件事情一直还没有付诸实施!希望以本次公众号的第一篇文章为契机,能够慢慢的开始做这件事情!

        附:科学作为一门学科,并不会因为它叫做科学而就比其他学科更加高贵,它也仅仅是一门学科而已,而我之所以做这个,那不过是因为这是我的专业,仅此而已。

       

        

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